求过(√2,3)且与4x^2+16y^2=64相切的直线方程，本例子介绍两种方法，一种是几何方程直线与椭圆相切的关系求解，另一种是导数的知识求解。
工具/原料
椭圆的基本知识
直线椭圆有相切的关系
导数的几何意义
导数的求解
二次方程的求根公式
解法一：几何求解法
1、解法一：【思路】：直线与椭圆交点知识求解。设所求的直线方程为:y-3=k(x-√2)即：y=3+k(x幻腾寂埒-√2)代入椭圆方程为：4x^2+16[3+k(x-√2)]^2=644x^2+16[9+6k(x-√2)+k^2(x-√2)^2]=64x^2+4[9+6k(x-√2)+k^2(x-√2)^2]=16x^2+4*9+24kx-24√2k+4k^2x^2-8√2k^2x+8k^2-16=0(1+4k^2)x^2+(24k-8√2k^2)x+8k^2+20-24√2k =0(1+4k^2)x^2+8(3k-√2k^2)x+4(2k^2+5-6√2k)=0
2、因为相切，所以只有一个交点，所以判别式△=0，即：△=b^2-4ac =64(3k-√2k^2)^2-4(1+4k^2)忮氽阝另*4(2k^2+5-6√2k)=0即：4(3k-√2k^2)^2-(1+4k^2)(2k^2+5-6√2k)=036k^2-24√2k^3+8k^4-2k^2-5+6√2k-8k^4-20k^2+24√2k^3=036k^2-2k^2-5+6√2k-20k^2=014k^2+6√2k-5=0利用求根公式得到： k1,2=(-3√2±2√22)/14得两条直线为：y-3=[(-3√2±2√22)/14]*(x-√2)
2：导数斜率知识
1、[思路]：用导数的几何意义，即曲线的斜率来求解。 对椭圆方程求导得到：4x^2+16y^2=64X^2+4y^2=16,求导:2x+8yy’=0,即：y’=-x/4y.
2、设切点的坐标为A（m,n），则韦蛾拆篮经过该点的切线的斜率k=y’=-m/4n.根据直线的斜率得到关系式：K=-m/4n=(n-3)/(罪焐芡拂m-√2)化简得到：m^2+4n^2=12n+√2m…..(1)m^2+4n^2=16…..(2).连立方程得到：16=12n+√2mm=4(4-3n)/√2，代入方程(2),得到：4^2(4-3n)^2/2+4n^2=162(4-3n)^2+n^2=419n^2-48n+28=0n1,2=（24±2√11）/19
3、k=-m/4n=-[4(4-3n)/√2]/4n=(3n-4)/√2nk1=[3*（24+2√11）/19-4]/[√2*（24+2√11）/19]=(38√22-57√2)/2*133=(-3√2+2√22)/14.同理，可求出k2=(-3√2-2√22)/14.进一步得到切线的方程为：y-3=[(-3√2±2√22)/14]*(x-√2)
