向量空间的基变换，指的是，选用一组新的基向量，用这组基向量的线性组合，来重新表述这个向量空间。举个简单的例子：二维空间的一个标准正交基是u={1,0}、v={0,1}，那么，5u+12v就表示向量w={5,12}，如果把向量空间的基选为u'={5,0}、v'={0,6}，w怎么表示呢？下面，我就用Mathematica来演算一般情形。
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Mathematica
二维空间基变换
1、给出标准正交基：u={1,0};v={0,1};那么，向量w={a,b}可以用u和v的线性组合表示出来，简单的解方程组就可以。
2、如果选择新的基：u'={p,q};v'={r,s};w怎么表示？看下图，演算结果隐含了一个条件：ps-qr≠0。
3、然而，基变换：{u,v}→{u',v'}可以用矩阵乘法来实现。窘谒樗缚假设A是这个基变换的变换矩阵，那么：{u',v'}.A={u,v}反过来，A={u,v}.Inverse[{u',v'}]这里把{u,v}和{u',v'}当成2*2的矩阵来对待。
4、那么，标准正交基下的向量w={a,b}在新基下面的表示，就可以写为：w.A
5、基变换下，两点间的距离是否变化？给定另一点M，在标准正交基下的坐标为：M={m,n};那么，此时，M、W的距离是：Sqrt[(W-M).(W-M)]
6、基变换之后:W={(b*r-a*s)/(q*r-p*s),(b*p-a*q)/(-(q*r)+p*s)};M={(n*r-m*s)/(q*r-p*s),(n*p-m*q)/(-(q*r)+p*s)};奇怪，距离变了吗？要想解释这个假象，就需要测度论的辅助，这里不予介绍。
三维空间基变换
1、给出标准正交基：u={1,0,0};v={0,1,0娅势毁歹};w={0,0,1};新基：u'={a,b,c};v'={d,e,f};w'=撑俯擂摔{p,q,r};那么，变换矩阵可以写为：A={u,v,w}.Inverse[{u',v',w'}]隐含条件是：-cep+bfp+cdq-afq-bdr+aer≠0
2、标准正交基下的向量{x,y,z}在新基下的线性表示为：{x,y,z}.A
