1、根据对数函数的性质，求解函数的定义域。
2、形如y=f(x)，则x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。对于本题，自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。
3、函数的单调性，通过函数的一阶珑廛躬儆导数，求出函数的单调区间。y=log3(x^2+1),dy/dx=d(x^2+1)/[ln3(x^2+1)],dy/dx =2旌忭檀挢x/[ln3(x^2+1)],令dy/dx=0,则：x=0,即有：(1)当x∈[0,+∞)时，dy/dx≥0，此时函数单调递增，区间为增区间；(2)当x∈(-∞,0)时，dy/dx＜0，此时函数单调递减，区间为减区间。
4、如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。
5、计算出函数的二阶导数，根据函数的二阶导数的符号，判断函数的单调性，并解析函数的凸凹区间。
6、函数凸凹性：dy/dx =2垓矗梅吒x/[ln3(x^2+1)],d^2y/dx^2=(2/ln3)*[(x^2+1)-x*2x]/(x^2+1)^2,d炷翁壳唏^2y/dx^2=(2/ln3)*(1-x^2)/(x^2+1)^2,令d^2y/dx^2=0，则x^2=1，即：x1=-1，x2=1。(1). 当x∈(-∞, -1) ,(1,+∞)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数；(2). 当x∈[-1, 1]时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为凹函数。
7、函数在间断点处的极限：Lim（x→-∞）log3(x^2+1)=+∞，Lim（x→0）log3(x^2+1)=0，Lim（x→+∞）log3(x^2+1)=+∞。
8、函数的奇偶性，判断函数的奇偶骂宙逃慈性，由于函数f(-x)=f(x),即函数为偶函数，确定其对称性为关于y轴对称。因为f(-x)=log3[(-x)]^2+1]=log3(x^2+1)租涫疼迟=f（x），所以f(x)为偶函数，图像在直角坐标系上关于y轴对称。
9、函数图上，部分点以图表解析表列举如下：如：x=0时，y=log3(0+1)=0,x=±1时，y=log3(1+1)=log3 2.x=±2时，y=log3(4+1)=log3 5.
10、函数的示意图，根据以上函数的定义域、单调性、凸凹性以及极限和奇偶等函数的性质，函数的示意图如下：从图像可观察，图像形如英文字母"V”。
