四种方法求解y=√4-x^2在[0，2]上的最值

分别介绍用复合函数单调性、三角换元法、导数法和数形结合法求函数y=√4-x^2在[0,2]上的最值。

工具/原料

根式函数有关知识

导数有关知识

1.问题及公式

1、 分别介绍用复合函数单调性、三角换元法、导数法和数形结合法求函数y=√4-x^2在[0,2]上的最值。

2、用到的数学公式或性质定理有：1.复合函数单调性同增为增，异减为减性质的应用。2.形如ax^2+by^2=c方程，a，b，c为正数，当a租涫疼迟=b时为圆，当a≠b时为椭圆。3.三角函数重要公式：(sinx)^2+(cosx)^2=1。4.y=√a-bx^2,则y＇=-bx/√(a-bx^2)。

2.复合函数单调性法

1、根据本题函数y=√u，u=f(x)复合而成，即由二次根式函数和二次函数的复合函数，且二者单调性相反，根据复合函数的单调性，故为减函数。

2、依y=f(u)，u=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

3、判断复合函墙绅褡孛数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数的定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。

3.用三角换元求解最值

1、设自变量x=asint，得到关于t的三角函数，利用三角函数的有界性，进而求得函数的最大值和最小值。

4.数形结合法求最值

2、根据函数y在直角坐标系上的示意图，可以看出y实际上是一个四分之一圆，且图像在第一象限内。

5.导数法

1、对函数y求导，得到函数的驻点，根据驻点并结合函数的取值条件，再判断函数导数的符号，即可得函数的单调性，即可求出函数的最大值和最小值。

2、导数与函数的单调性：（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。