把上半球面z＝√（1坍喙藻钾－x＾2－y＾2）投影到xoy平面上，得圆x＾2＋y＾2＝1，利用极坐标，
原积分＝∫叵萤茆暴（sinθ）＾3dθ∫r＾4dr（r积分限0到1，θ积分限0到2π），∫r＾4dr＝1／5，∫（sinθ）＾3dθ
＝－∫（sinθ）＾2dcosθ＝∫［（cosθ）＾2－1］dcosθ＝（cosθ）＾3／3－cosθ＝0，
所以积分＝0其实本题可利用对称性，由于积分曲面关于x轴对称，而被积函数是关于y奇函数，所以积分＝0
被积曲面方程z＝（a＾2－x＾2－y＾2）＾（1／2），则z＇x＝－2x／2（a＾2－x＾2－y＾2）＾（1／2）
＝－x／z，同理z＇y＝－y／z，所以［1＋（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2］＾（1／2）＝（1＋x＾2／z＾2＋y＾2／z＾2）＾（1／2）＝a／z，
所以积分＝∫∫z［1＋（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2］＾（1／2）dz＝a∫∫dxdy，而∫∫dxdy等于被积曲面在xoy平面上投影的面积，将两方程联立，得x＾2＋y＾2＝a＾2／2
即投影圆半径的平方＝a＾2／2，面积＝πa＾2／2，所以原积分＝πa＾3／2
扩展资料
计算∫根号（2y＾2＋z＾2）ds，其中L为球面X＾2＋Y＾2＋Z＾2＝3与平面X＝Y相交的圆周
X＾2＋Y＾2＋Z＾2＝3与x＝y相交的圆周为一个球大圆，
且方程满足：2y＾2＋z＾2＝3，（只需将x＝y代入球方程即可）
第一类曲线积分可以用曲线方程化简被积函数
因此原式＝∫√3ds
＝√3∫1ds
被积函数为1，积分结果是曲线弧长，即球大圆的周长
＝√3＊2π＊√3
＝6π
