Clarkson不等式证明：令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则恒有 f(x) ≥ 0。
设x、y为任意实数，则(x-y)的平方大于等于0，即x的平方-2xy+y的平方大于等于0，于是得x的平方+y的平方大于等于2xy。
设a等于x的平方、b等于y的平方，则2xy等于2根号(ab)，所以得到a+b大于等于2根号(ab)，其中a、b为正实数.本来a、b等于0时，不等式也是成立的，但考虑实用性，故只取正数。
柯西不等式的应用：
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)。
证明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。
