半负定矩阵如何判定极大值

1、由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。证明：若 ， 则有∴λ>0反之，团蝣逅捎必存在U使即有这就证明了A正定。由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。证明：A正定二次型正定A的正惯性指数为n3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使令 则令 则反之，∴A正定。同理可证A为半正定时的情况。4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 。证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定∴ 是正定二次型现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有∴∴A正定∴存在可逆矩阵C ，使5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。证明：必要性：设二次型 是正定的对每个k,k=1,2,…,n,令，现证 是一个k元二次型。∵对任意k个不全为零的实数 ，有∴ 是正定的∴ 的矩阵是正定矩阵即即A的顺序主子式全大于零。充分性：对n作数学归纳法当n=1时，∵ ， 显然 是正定的。假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。令 ， ，∴A可分块写成∵A的顺序主子式全大于零∴ 的顺序主子式也全大于零由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使令∴再令 ，有令 ，就有两边取行列式，则由条件 得a>0显然即A合同于E ，∴A是正定的。