本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=2x/(1+x^2)的图像的主要步骤。
工具/原料
函数图像有关知识
导数相关知识
1.函数的定义域
1、函数为分式函数，根据函数特征，函数分母不为0，并可求得函数自变量可以取全体实数。
2、补充知识，什么是函数的定义域：设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。
2.函数的单调性
1、求出函数的一阶导数，并求出函数的驻点，判断函数一阶导数的符号，进而得到单调性和单调区间。
2、补充知识点，导数与函数的单调性： 导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性。设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶导数，那么:(1)若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增;(2)若在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减。
3.函数的凸凹性
1、求解函数的二阶导数，令二阶导数为0，进一步得函数的拐点，从而解析函数的凸凹性和凸凹区间。
4.函数的奇偶性
1、根据函数奇偶性判定原则，可解析函数为奇函数，则图像关于原则对称。
2、函数奇偶性判定原则：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
5.函数的极限
1、根据函数性质，求出函数在定义域端点即在无穷大处的极限。
2、函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
6.函数五点图
1、列表，函数部分点解析表如下：
7.函数的示意图
1、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性、奇偶性以及极限等性质，函数的示意图如下：
