1、直接计算原根的方法是使用PrimitiveRootList[m]，将产生模m的所有原根。或者计算最小原根使用PrimitiveRoot[m]。
2、首先是判断原根的方法。如图举例，判断3是否是模7的原根。1. 判断3和模数7是否互素。（如果不互素直接Pass）2. 判断3模7的阶数是否等于Ф(7)。阶数是最小正整数n使得x^n≡1(mod m)如图第二个条件满足了，说明3是模7的原根。
3、接下来，我们按照上面的判断思路，对于每个模数m，从1~m中选出原根。模数m依次取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。
4、计算得出各个模数的原根如图。有些模数只有1个原根，有些数有多个原根。另外注意，8没有原根。原根一定是如下方程的解，但是如下方程的解不一定是原根：x^Ф(m) ≡ 1(mod m).比如1就满足方程，但是对与绝大多数m，都没有1这个原根。
5、然后，我们具体考证为什么8没有原根。首先，我们用如图代码求出8的缩系{1,3,猱蝰逾鸾5,7}（与8互素的都在缩系中傧韭茆鳟）。同时，也得出Ф(8)=4。然后计算缩系中各个元素的乘法阶数。发现是1,2,2,2。也就是说x^Ф(m) ≡ 1(mod m)无解。8的原根不存在。
6、原根性质①：通过原根的产生缩系。如果g是原根，{g, g², g³, ... g^(Ф(m)-1), 1} 一共Ф(m)个元素组成了缩系。接下来用11的四个原根验证。首先计算其缩系，有1~10十个元素。Ф(11)=10。
7、模11的四个原根是2,6,7,8。分别计算它们的n次方，n取1~m（或者0~m-1)。都得到了完整的缩系。
8、类似的，我们用14去验证。模14的原根只有两个3和5。Ф(14)=6。分别计算3和5的1~6次方，都产生了模14的缩系。
9、原根性质②：通过原根产生原根。比如11的原根有{2,6,7,8}四个，那么这四个原根的L次方（L跤耧锿葡与Ф(11)互素）仍然是原根。或者，我们知道一个原根2，计算他的L次方(L=1,3,7,9)，得到{2,8,7,6}(模11)。也就是说，从一个原根可以计算得出其它原根。
10、最后，我们使用Mathematica的DiscretePlot给60以内的最小原根绘图如下。
